Ось математика, що стоїть за цими «неможливими» візерунками, що ніколи не повторюються

Пшемек Маєвський/wikimedia

Пам’ятаєте міліметровий папір, яким ви користувалися в школі, такий, який покритий маленькими квадратиками?

Це ідеальна ілюстрація того, що математики називають періодичним мозаїкою простору, коли фігури охоплюють всю область без перекриття чи розриву.

Якщо ми перемістили весь візерунок на довжину плитки (переклали його) або повернули його на 90 градусів, ми отримаємо той самий візерунок. Це тому, що в цьому випадку вся плитка має таку саму симетрію, як і окрема плитка.



Але уявіть, що облицювання ванної кімнати п’ятикутниками замість квадратів – це неможливо, тому що п’ятикутники не будуть з’єднуватися, не залишаючи проміжків або накладаючи один на одного.

Візерунки (що складаються з плиток) і кристали (що складаються з атомів або молекул) зазвичай періодичні, як аркуш міліметрового паперу, і мають відповідну симетрію.

Серед усіх можливих домовленостей, ці регулярні схеми є кращими за своєю природою, оскільки вони пов’язані з найменшою кількістю енергії, необхідної для їх збирання. Насправді ми знаємо лише те, що неперіодичне розбиття, яке створює візерунки, що ніколи не повторюються, може існувати в кристалах протягом кількох десятиліть.

Тепер ми з колегами маємо зробив модель, яка може допомогти зрозуміти як це виражається.

У 1970-х роках фізик Роджер Пенроуз виявив, що можна створити візерунок із двох різних фігур із кутами та сторонами п’ятикутника. Це виглядає однаково, коли його повертають під кутом 72 градуси, тобто якщо ви повертаєте його на 360 градусів, воно виглядає однаково з п’яти різних кутів.

Ми бачимо, що багато маленьких частин візерунків багато разів повторюються в цьому візерунку. Наприклад, на малюнку нижче п’ятикутна помаранчева зірка повторюється знову і знову.

Але в кожному випадку ці зірки оточені різними формами, що означає, що весь візерунок ніколи не повторюється в жодному напрямку. Тому ця графіка є прикладом візерунка, який має обертальну симетрію, але не має поступальної симетрії.

Плитка Пенроуза. Пшемек Маєвський

У трьох вимірах все стає складніше. У 1980-х роках Ден Шехтман спостерігав алюмінієво-марганцевий сплав із неперіодичний візерунок у всіх напрямках, які все ще мали обертальну симетрію при повороті на той самий кут 72 градуси.

До того часу кристали, які не мали трансляційної симетрії, але мали обертальну симетрію, були фактично немислимими – і багато вчених не вірили цьому результату. Фактично, це був один із тих рідкісних випадків, коли визначення «W hat is a crystal» довелося змінити через нове відкриття. Відповідно, ці кристали тепер називаються «квазікристалами».

Ірраціональне число

Ніколи не повторювана структура квазікристала виникає через ірраціональне число в основі його конструкції. У правильному п’ятикутнику відношення довжини сторони п’ятикутної зірки, яку можна вписати всередину п’ятикутника, до сторони справжнього п’ятикутника є знаменитим ірраціональним числом фі (не плутати з пі). , що становить приблизно 1,618.

Це число також відоме як Золоте радіо (і він також задовольняє співвідношення phi = 1+1/phi). Отже, коли квазікристал будується з плитками, які є похідними від п’ятикутника – як ті, які використовував Пенроуз – ми спостерігаємо обертальну симетрію під кутами 72 градуси.

Структура квазікристалічної решітки. Автор надано

Ми бачимо цю п’ятикратну симетрію як на зображенні квазікристала у вигляді десяти радіальних ліній навколо центральної червоної точки (вгорі), так і на масштабній моделі центральної частини квазікристала, зробленій за допомогою Zometool (нижче).

У моделі допомагає уявити, що білі кульки є місцями, де ми знайдемо частинки/атоми кристалічної структури, а червоні та жовті стрижні вказують на зв’язки між частинками, які представляють форми та симетрію структури.

У нашій нещодавній публікації , ми визначили дві ознаки, які повинна мати система, щоб сформувати тривимірний квазікристал. Перший полягає в тому, що в системі виникають шаблони двох різних розмірів (масштаб довжини), які мають відповідне ірраціональне співвідношення (наприклад, фі).

А по-друге, вони можуть сильно впливати один на одного. На додаток до візерунків квазікристалів, які ніколи не повторюються, ця модель також може формувати інші спостережувані правильні кристалічні структури, такі як шестикутники, об’ємно-центровані куби тощо.

Така модель дає змогу дослідити конкуренцію між усіма цими різними моделями та визначити умови, за яких квазікристали утворюватимуться в природі.

Будова квазікристала. Автор надано

Математика, яка лежить в основі того, як створюються такі шаблони, що ніколи не повторюються, дуже корисна для розуміння того, як вони формуються, і навіть для розробки їх конкретних властивостей. Ось чому ми в Університеті Лідса разом із колегами з інших закладів захоплені дослідженнями таких питань.

Однак це дослідження — не просто концептуальна математична ідея (хоча математика, що стоїть за ним, викликає звикання) — воно має великі перспективи для багатьох практичних застосувань, у тому числі створення дуже ефективних квазікристалічні лазери . Це пояснюється тим, що коли в лазері використовуються періодичні кристалічні візерунки, лазерний промінь малої потужності створюється симетрією повторюваного візерунка.

Наявність дефектів у кристалічній структурі або альтернативне використання квазікристалічної структури, що ніколи не повторюється, на вихідному кінці лазера дає змогу створити ефективний лазерний промінь із високою піковою вихідною потужністю.

В інших сферах застосування деякі дослідники навіть розглядають світловідбиваючі покриття, які можуть створити квазікристали, якщо їх додати до домашньої фарби.

Прія Субраманян , науковий співробітник Прикладна математика, Університет Лідса .

Ця стаття була спочатку опублікована Розмова . Читати оригінальна стаття .

Про Нас

Публікація Незалежних, Перевірених Фактів Звітів Про Здоров'Я, Космос, Природу, Технології Та Навколишнє Середовище.